ON THE FOURTH MOMENT OF THETA FUNCTIONS AT THEIR CENTRAL POINT 5

Lemma 9. It holds that Mc(d, δ, x) = (2

log2

c)

x

dδ2

+ O(

√

x

δ

) + O(

x

d2δ2

).

Proof. In the range D1

c

√

x

dδ

we have

dD1

c2D2

x

dδ2D1D2

.

Hence, (4) and (5) are equivalent to

(6)

dD1

c2D2

≤ k ≤

c2dD2

D1

if D2 ≤

√

x

cdδ

x

dδ2D1D2

otherwise.

In setting

X =

√

x

cdδ

,

we obtain that Nc(d, δ, D1, D2, x) is the number of k’s such that

(7)

dD1

c2D2

≤ k ≤

c2dD2

D1

if D2 ≤ X

c2dX2

D1D2

otherwise.

Therefore, we have:

Mc(d, δ, x) =

D1c2X D1/c2≤D2D1

Nc(d, δ, D1, D2, x)

=

D1X

D1/c2≤D2D1

c2dD2

D1

−

dD1

c2D2

+ O(1)

+

X≤D1c2X

⎧

⎨

⎩

D1/c2≤D2≤X

c2dD2

D1

−

dD1

c2D2

+ O(1)

+

X≤D2D1

c2dX2

D1D2

−

dD1

c2D2

+ O(1)

⎫

⎬

⎭

=

c2d

D1X D1/c2≤D2D1

D2

D1

+

c2d

X≤D1c2X D1/c2≤D2≤X

D2

D1

−

d

c2

D1c2X D1/c2≤D2D1

D1

D2

+c2dX2

X≤D1c2X X≤D2D1

1

D1D2

+O(X2)

=

c2d

2

D1X

(1 −

1

c4

)

(

D1 + O(1)

)

+

c2d

2

X≤D1c2X

(

X2

D1

−

1

c4

D1 + O(1)

)

−

d

c2

D1c2X

(

D1

log(c2)

+ O(1)

)

+c2dX2

X≤D1c2X

(

log(D1/X)

D1

+ O(

1

D1X

)

)

+O(X2)

5

Lemma 9. It holds that Mc(d, δ, x) = (2

log2

c)

x

dδ2

+ O(

√

x

δ

) + O(

x

d2δ2

).

Proof. In the range D1

c

√

x

dδ

we have

dD1

c2D2

x

dδ2D1D2

.

Hence, (4) and (5) are equivalent to

(6)

dD1

c2D2

≤ k ≤

c2dD2

D1

if D2 ≤

√

x

cdδ

x

dδ2D1D2

otherwise.

In setting

X =

√

x

cdδ

,

we obtain that Nc(d, δ, D1, D2, x) is the number of k’s such that

(7)

dD1

c2D2

≤ k ≤

c2dD2

D1

if D2 ≤ X

c2dX2

D1D2

otherwise.

Therefore, we have:

Mc(d, δ, x) =

D1c2X D1/c2≤D2D1

Nc(d, δ, D1, D2, x)

=

D1X

D1/c2≤D2D1

c2dD2

D1

−

dD1

c2D2

+ O(1)

+

X≤D1c2X

⎧

⎨

⎩

D1/c2≤D2≤X

c2dD2

D1

−

dD1

c2D2

+ O(1)

+

X≤D2D1

c2dX2

D1D2

−

dD1

c2D2

+ O(1)

⎫

⎬

⎭

=

c2d

D1X D1/c2≤D2D1

D2

D1

+

c2d

X≤D1c2X D1/c2≤D2≤X

D2

D1

−

d

c2

D1c2X D1/c2≤D2D1

D1

D2

+c2dX2

X≤D1c2X X≤D2D1

1

D1D2

+O(X2)

=

c2d

2

D1X

(1 −

1

c4

)

(

D1 + O(1)

)

+

c2d

2

X≤D1c2X

(

X2

D1

−

1

c4

D1 + O(1)

)

−

d

c2

D1c2X

(

D1

log(c2)

+ O(1)

)

+c2dX2

X≤D1c2X

(

log(D1/X)

D1

+ O(

1

D1X

)

)

+O(X2)

5